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動(dòng)點(diǎn)最值模型——將軍飲馬

發(fā)布時(shí)間：2024/12/11 11:11:04

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今天給大家分享一個(gè)數(shù)學(xué)中常見且有趣的模型——將軍飲馬。唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題。如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營，求怎樣走才能使總路程最短。

2024-11-19 10:34:00.564000

圖1

我們的解法是：如圖2，作AO垂直交L（河流）于點(diǎn)O，延長AO至A’，使A’O=AO，連結(jié)A’B交L于C點(diǎn)，則C點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，連結(jié)AC，則AC+CB為最短路程。

2024-11-19 11:13:49.642000

圖2

為什么要這么做呢？我們知道A和A’是關(guān)于河流L對稱的，所以L相當(dāng)于線段AA'的中垂線，所以AC=A’C（中垂線的性質(zhì)），所以AC+CB可以轉(zhuǎn)化為A’C+CB，又由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以連結(jié)A’B與L交于點(diǎn)C，那么C點(diǎn)為最優(yōu)的飲水點(diǎn)。

如果將軍在河邊的另外任一點(diǎn)C’飲馬（如圖3），所走的路程就是AC’+C’B，但是，AC’+C’B=A’C’+C’B＞A’B=A’C+CB=AC+CB（三角形兩邊之和大于第三邊）。由此可見，在C點(diǎn)外任何一點(diǎn)C’飲馬，所走的路程都要遠(yuǎn)一些。

2024-11-19 13:42:33.082000

圖3

圖2就是我們將軍飲馬中最經(jīng)典的“兩定一動(dòng)”模型的解題方法，很多學(xué)生可能遇到過這類題目，并且記住了方法，但是不理解本質(zhì)的數(shù)學(xué)邏輯，所以遇到一些變形就識(shí)別不出，經(jīng)過我上面的分享，大家應(yīng)該對將軍飲馬有了更深的理解。

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