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SAT高分必看 I 微積分在SAT數(shù)學(xué)中的妙用!
2025/06/30 17:23:20

微積分是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中非常常見的工具，也是一門大多學(xué)生學(xué)習(xí)過程中會涉及到的一部分知識點(diǎn)，在人們的學(xué)習(xí)生活當(dāng)中都有這個概念的影子。今天，我們就來聊一聊微積分在SAT數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用。當(dāng)然，微積分并不屬于SAT數(shù)學(xué)的考察范圍，所以我們只是從工具使用的角度在恰當(dāng)?shù)牡胤绞褂梦⒎e分的基礎(chǔ)知識。


本文作者：


微積分在SAT數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用1.png


Part 1


首先，微積分中導(dǎo)數(shù)的概念是建立在極限的基礎(chǔ)之上的，直觀來講就是一個函數(shù)在某一個點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)反應(yīng)了這個點(diǎn)的變化率(rate of change)。


譬如我們知道速度等于路程除以時間


微積分在SAT數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用2.png


在某段時間里面路程的變成的量除以時長就是這段時間里路程的平均變化率(也就是速度)，那如果但這一小段時間無限短的時候它就變成了一個時間點(diǎn)，用一樣的方法便能得到在這一個時間點(diǎn)上的瞬時路程變化率(瞬時速度)。


基于前人的研究我們有了直接得到一個函數(shù)到函數(shù)的各種各樣的公式，也就是說我們可以通過這個公式直接快速地得到某個函數(shù)上某個點(diǎn)的平均變化率，而其中最為常見的公式便是


微積分在SAT數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用3.png


也就是說我們可以直接利用y'這個去分析計(jì)算函數(shù)上任何一個點(diǎn)的變化率(也就是該點(diǎn)切線的斜率)


Part 2


那么我們?nèi)绾卧赟AT數(shù)學(xué)中利用好它呢?


我們都知道二次函數(shù)的standard form是


微積分在SAT數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用4.png


那么它的導(dǎo)函數(shù)則應(yīng)該是


微積分在SAT數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用5.png


而我們都知道二次函數(shù)的圖像是parabola，它有一個vertex，而vertex點(diǎn)處的rate of change很明顯為0，所以我們就可以得到該點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)該為y'為0的時候，則


微積分在SAT數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用6.png


故定點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為x=-b/2a


大家有沒有發(fā)現(xiàn)，這里我們用一個非常簡單的辦法就得到了頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式。


Part 3


在SAT題目中


微積分在SAT數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用7.png


比如這道題目中，因?yàn)橐粋€parabola和一條直線相交于一點(diǎn)，也就意味著這條直線便是這個拋物線的切線，所以有


微積分在SAT數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用8.png


又因?yàn)樗鼈冎挥幸粋€交點(diǎn)，所以可通過判別式discriminant為0直接得到q的值，進(jìn)而就可得到正確的答案了!


以上就是今天的分享!


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